Introduction aux SDR : LA TRANSFORMEE DE FOURIER

 Transformée de Fourier

Mathématiquement, la «transformée» que nous utilisons pour passer du domaine temporel au domaine fréquentiel et inversement s'appelle la transformée de Fourier. Elle est défini comme suit:

Pour un signal x (t), nous pouvons obtenir la version du domaine fréquentiel, X (f), en utilisant cette formule. Nous allons représenter la version dans le domaine temporel d'une fonction avec x (t) ou y (t), et la version dans le domaine fréquentiel correspondante avec X (f) et Y (f). Notez le «t» pour le temps et «f» pour la fréquence. Le «j» est simplement le nombre imaginaire. Vous l'avez peut-être vu comme un «i» en classe de mathématiques au lycée. Nous utilisons «j» en ingénierie et en informatique parce que «i» fait souvent référence au courant, et dans la programmation, il est souvent utilisé comme un itérateur.

Revenir dans le domaine temporel à partir de la fréquence est presque le même, mis à part un facteur d'échelle et un signe négatif:

Notez que de nombreux manuels et autres ressources utilisent w à la place du 2 \ pi f. w est la fréquence angulaire en radians, tandis que f est en Hz. Tout ce que tu dois savoir c'est que

Même si cela ajoute un terme 2 \ pi à de nombreuses équations, il est plus facile de s'en tenir à la fréquence en Hz. En fin de compte, vous travaillerez avec Hz dans votre application SDR.

L'équation ci-dessus pour la transformée de Fourier est la forme continue, que vous ne verrez que dans les problèmes de mathématiques. La forme discrète est beaucoup plus proche de ce qui est implémenté dans le code:

 

Notez que la principale différence est que nous avons remplacé l'intégrale par une sommation. L'indice k va de 0 à N-1.

Ce n’est pas grave si aucune de ces équations ne vous dit grand-chose. Nous n'avons en fait pas besoin de les utiliser directement pour faire des trucs sympas avec DSP et SDR!

Propriétés temps-fréquence

Plus tôt, nous avons examiné des exemples de la façon dont les signaux apparaissent dans le domaine temporel et le domaine fréquentiel. Nous allons maintenant couvrir cinq «propriétés de Fourier» importantes. Ce sont des propriétés qui nous indiquent si nous faisons ____ à notre signal de domaine temporel, alors ____ arrive à notre signal de domaine de fréquence. Cela nous donnera un aperçu important du type de traitement numérique du signal (DSP) que nous effectuerons sur les signaux du domaine temporel dans la pratique.

    Propriété de linéarité:

Cette propriété est probablement la plus simple à comprendre. Si nous ajoutons deux signaux dans le temps, alors la version du domaine fréquentiel sera également les deux signaux du domaine fréquentiel additionnés. Cela nous dit également que si nous multiplions l'un ou l'autre par un facteur d'échelle, le domaine de fréquence sera également mis à l'échelle du même montant. L'utilité de cette propriété deviendra plus évidente lorsque nous additionnerons plusieurs signaux.

    Propriété de décalage de fréquence:

Le terme à gauche de x (t) est ce que nous appelons une «sinusoïde complexe» ou «exponentielle complexe». Pour l'instant, tout ce que nous devons savoir, c'est qu'il s'agit essentiellement d'une onde sinusoïdale à la fréquence f_0. Cette propriété nous dit que si nous prenons un signal x (t) et le multiplions par une onde sinusoïdale, alors dans le domaine fréquentiel, nous obtenons X (f) sauf décalé d'une certaine fréquence, f_0. Ce décalage de fréquence peut être plus facile à visualiser:

Le décalage de fréquence fait partie intégrante du DSP car nous voudrons décaler les signaux de haut en bas en fréquence pour de nombreuses raisons. Cette propriété nous indique comment faire cela (multiplier par une onde sinusoïdale). Voici une autre façon de visualiser cette propriété:

    Propriété de mise à l'échelle dans le temps:

Sur le côté gauche de l'équation, nous pouvons voir que nous mettons à l'échelle notre signal x (t) dans le domaine temporel. Voici un exemple de signal mis à l'échelle dans le temps, puis ce qui arrive aux versions du domaine fréquentiel de chacune.

La mise à l'échelle dans le temps réduit ou étend essentiellement le signal sur l'axe des x. Ce que cette propriété nous dit, c'est que la mise à l'échelle dans le domaine temporel provoque une mise à l'échelle inverse dans le domaine fréquentiel. Par exemple, lorsque nous transmettons des bits plus rapidement, nous devons utiliser plus de fréquences. La propriété aide à expliquer pourquoi les signaux à débit de données plus élevé utilisent plus de bande passante / spectre. Si la mise à l'échelle temps-fréquence était proportionnelle au lieu d'inversement proportionnelle, les porteurs cellulaires seraient capables de transmettre tous les bits par seconde qu'ils voulaient sans payer des milliards pour le spectre! Ce n’est malheureusement pas le cas.

Ceux qui connaissent déjà cette propriété peuvent remarquer l'absence d'un facteur d'échelle; il est laissé de côté pour des raisons de simplicité. Pour des raisons pratiques, cela ne fait aucune différence.

    Propriété de convolution:

On l'appelle la propriété de convolution parce que dans le domaine temporel, nous convolutionnons x (t) et y (t). Vous ne connaissez peut-être pas encore l'opération de convolution, alors imaginez-la pour l'instant comme une corrélation croisée. Lorsque nous convolutionnons des signaux du domaine temporel, cela équivaut à multiplier les versions du domaine fréquentiel de ces deux signaux. C'est très différent de l'addition de deux signaux. Lorsque vous ajoutez deux signaux, comme nous l'avons vu, rien ne se passe vraiment, vous ajoutez simplement la version du domaine fréquentiel. Mais lorsque vous convollez deux signaux, c'est comme créer un nouveau troisième signal à partir d'eux. La convolution est la technique la plus importante du DSP, même si nous devons d'abord comprendre comment les filtres fonctionnent pour la saisir pleinement.

Avant de poursuivre, pour expliquer brièvement pourquoi cette propriété est si importante, considérez cette situation: vous avez un signal que vous souhaitez recevoir, et il y a un signal interférant à côté.

Le concept de masquage est largement utilisé dans la programmation, alors utilisons-le ici. Et si nous pouvions créer le masque ci-dessous, et le multiplier par le signal ci-dessus afin de masquer celui que nous ne voulons pas?

Nous effectuons généralement des opérations DSP dans le domaine temporel, nous allons donc utiliser la propriété de convolution pour voir comment nous pouvons faire ce masquage dans le domaine temporel. Disons que x (t) est notre signal reçu. Soit Y (f) le masque que nous voulons appliquer dans le domaine fréquentiel. Eh bien, cela signifie que y (t) est la représentation dans le domaine temporel de notre masque, et si nous la convolutionnons avec x (t), nous pouvons «filtrer» le signal que nous ne voulons pas.

Lorsque nous discuterons du filtrage, la propriété colvolution aura plus de sens.

Enfin, je tiens à souligner que la propriété de convolution fonctionne à l'inverse, bien que nous ne l'utilisions pas autant que la convolution dans le domaine temporel:

Il existe d'autres propriétés, mais les quatre ci-dessus sont les plus cruciales à comprendre à mon avis. Même si nous n’avons pas parcouru la preuve pour chaque propriété, le fait est que nous utilisons les propriétés mathématiques pour avoir un aperçu de ce qui arrive aux signaux réels lorsque nous effectuons une analyse et proc